Question

18．已知函數y=f（x）與y=F（x）的圖象關于y軸對稱，當函數y=f（x）和y=F（x）在區間[a，b]同時遞增或同時遞減時，把區間[a，b]叫做函數y=f（x）的“不動區間”．若區間[1，2]為函數f（x）=|2^x-t|的“不動區間”，則實數t的取值范圍是（　　）

• A． （0，2]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 若區間[1，2]為函數f（x）=|2^x-t|的“不動區間”，則函數f（x）=|2^x-t|和函數F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上單調性相同，則（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，進而得到答案．

解答 解：∵函數y=f（x）與y=F（x）的圖象關于y軸對稱，
∴F（x）=f（-x）=|2^-x-t|，
∵區間[1，2]為函數f（x）=|2^x-t|的“不動區間”，
∴函數f（x）=|2^x-t|和函數F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上單調性相同，
∵y=2^x-t和函數y=2^-x-t的單調性相反，
∴（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1-t（2^x+2^-x）+t²≤0在[1，2]上恒成立，
即2^-x≤t≤2^x在[1，2]上恒成立，
即$\frac{1}{2}$≤t≤2，
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，指數函數的圖象和性質，正確理解不動區間的定義，是解答的關鍵．