Question

 若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線為和的“隔離直線”．

已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

(1) 判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明你的結(jié)論；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 (1) 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

證明， ． 

當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，

因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立

， 由，得．

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，

則， 當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．

 ∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(1)可知當(dāng)時(shí)， (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)) ．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，

使得和恒成立，

令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．