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已知,如圖四棱錐PABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABCD,垂足為GGAD上,且AG=GDBGGCGB=GC=2,EBC的中點,四面體PBCG的體積為
(Ⅰ)求異面直線GEPC所成的角;
(Ⅱ)求點D到平面PBG的距離;
(Ⅲ)若F點是棱PC上一點,且DFGC,求的值.
見解析
解法一:  (I)由已知

∴PG=4
如圖所示,以G點為原點建立空間直角坐標系
o—xyz,則
B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4)
故E(1,1,0)

   ∴異面直線GE與PC所成的角為arccos
(II)平面PBG的單位法向量

∴點D到平面PBG的距離為
(III)設F(0,y , z)

在平面PGC內過F點作FM⊥GC,M為垂足,則
解法二:
(I)由已知  
∴PG=4
在平面ABCD內,過C點作CH//EG交AD于H,連結PH,則∠PCH(或其補角)就是異面直線GE與PC所成的角.
在△PCH中,
由余弦定理得,cos∠PCH=,∴異面直線GE與PC所成的角為arccos
(II)∵PG⊥平面ABCD,PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD
在平面ABCD內,過D作DK⊥BG,交BG延長線于K,
則DK⊥平面PBG ∴DK的長就是點D到平面PBG的距離

在△DKG,DK=DGsin45°=  ∴點D到平面PBG的距離為
(III)在平面ABCD內,過D作DM⊥GC,M為垂足,連結MF,又因為DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由GM⊥MD得:GM=GD·cos45°= 
練習冊系列答案
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