Question

【題目】已知點，分別是橢圓右頂點與上頂點，坐標原點到直線的距離為，且點是圓的圓心，動直線與橢圓交于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在線段上，，且當取最小值時直線與圓相切，求的值；

（3）若直線與圓分別交于，兩點，點在線段上，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1) 由點是圓的圓心，，原點到直線的距離為，在中由等面積法有，可求答案.
(2) 設，則,求出直線的方程，將點坐標代入直線的方程，可得，當且僅當時，取得最小值，可得到點的坐標，則可得到直線的方程，再由原點到直線的距離為，可求出的值.
(3) 由,可得,求出，，可得,可求出的范圍.

(1)由點是圓的圓心，，則,,則

坐標原點到直線的距離為，在中由等面積法有，可得.

所以橢圓的方程為

（2）設，則

則，則直線的方程為.

將點坐標代入直線的方程，可得

故，則當且僅當時，取得最小值.

此時點的坐標為，直線的方程為.

故.

(3)由,可得,將代入橢圓方程得：

，即，故.

又點到直線的距離為，則

所以，

可得

令，則

故取值的范圍是.