Question

9．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖象，如圖所示，根據圖象：
（1）寫出函數f（x），x∈R的增區間并將圖象補充完整；
（2）寫出函數f（x），x∈R的解析式；
（3）若函數g（x）=f（x）-4ax+2，x∈[1，3]，求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調遞增區間；
（2）令x＞0，則-x＜0，根據條件可得f（-x）=x²-2x，利用函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，從而可得函數f（x）的解析式；
（3）先求出拋物線對稱軸x=2a--1，然后分當2a+1≤1時，當1＜2a+1≤2時，當2a+1＞2時三種情況，根據二次函數的增減性解答．

解答 解：（1）如圖，根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，（2分），
則f（x）的單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$（10分）
（3）g（x）=x²-2x-4ax+2，對稱軸為x=2a+1，
當2a+1≤1時，g（1）=1-4a為最小；
當1＜2a+1≤3時，g（2a+1）=-4a²-4a+1為最小；
當2a+1＞3時，g（3）=5-12a為最小；
∴g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-4a，a≤0}\\{-4{a}^{2}-4a+1，0＜a＜1}\\{5-12a，a≥1}\end{array}\right.$．（16分）

點評 本題考查函數圖象的作法，考查函數解析式的確定與函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．