Question

【題目】在正三棱柱中，,點D是BC的中點，點在上，且．

（1）求證： ∥平面；

（2）求證：平面⊥平面．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行的判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證往往需要利用平面幾何知識，如本題利用三角形中位線性質得到線線平行.設， 則是的中點，而已知是的中點，因此. （2）證明面面垂直，一般利用面面垂直的判定定理，即從線面垂直出發給予證明，而線面垂直的證明，往往需要多次利用線面垂直的性質定理與判定定理.由直三棱柱性質得側棱垂直于底面，因此，由正三角形性質得，因此平面.從而. 又由平幾何知識可得，因此平面.進而有平面⊥平面．

試題解析：（1） 記，連接.

∵四邊形為矩形，∴是的中點，

又∵是的中點，∴.·······3分

又∵平面，平面，

∴∥平面.·······6分

（2）∵是正三角形，是的中點，

∴.

∵平面⊥平面，

平面平面，平面，

∴平面.·······9分

【或利用⊥平面，證明平面.】

∵平面，∴.

∵，，是中點，

∴，

∴，·······10分

∴，∴，

∴，又，平面，

∴平面.·······12分

又∵平面，∴平面平面．·······14分