Question

已知函數是定義在上的奇函數,當時, (其中e是自然界對數的底,)

（1）求的解析式;

（2）設，求證：當時，且，恒成立；

（3）是否存在實數a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在實數，使得當時，有最小值３．

【解析】

試題分析：本題主要考查對稱區間上函數解析式、利用導數求函數最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分類討論思想、數形結合思想，考查學生的轉化能力、計算能力．第一問，把所求范圍轉化為已知范圍代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二問，先將代入到和中，構造新函數，所求證的表達式轉化為，對和求導判斷函數單調性，求出函數最值，代入到轉化的式子中驗證對錯即可；第三問，先假設存在最小值3，對求導，分情況討論a，通過是否在區間內討論a的4種情況，分別判斷函數的單調性，且數形結合求出函數最值，令其等于3，解出a的值．

（1）設，則，所以又因為是定義在上的奇函數，所以

故函數的解析式為 2分

（2）證明：當且時，

，設

因為，所以當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增，所以

又因為，所以當時，，此時單調遞減，所以

所以當時，即 6分

（3）【解析】
假設存在實數，使得當時，有最小值是3，

則

（ⅰ）當，時，．在區間上單調遞增，

，不滿足最小值是３

（ⅱ）當，時，，在區間上單調遞增，

，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當，由于，則，故函數 是上的增函數．所以，解得（舍去）

（ⅳ）當時，則當時，，此時函數是減函數；當時，，此時函數是增函數．

所以，解得

綜上可知，存在實數，使得當時，有最小值３ 12分

考點：對稱區間上函數解析式、利用導數求函數最值、恒成立問題．