Question

已知等腰三角形的底角的正弦值等于

4

5

，則該三角形的頂角的正切值為

24

7

．

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，三角形ABC，AB=AC，過A作底邊BC上的高AD，根據“三線合一”得到AD為頂角平分線，可得∠BAD等于∠BAC的一半，又根據底角的正弦值，設出底角對邊AD及斜邊AB，利用勾股定理表示出BD，在直角三角形ABD中，根據銳角三角形函數定義求出tan∠BAD的值，然后利用二倍角的正切函數公式化簡tan∠BAC，將求出的tan∠BAD的值代入即可求出頂角的正切值．

解答：解：根據題意畫出圖形，
如圖所示：過A作AD⊥BC，與底邊BC交于D點，

由題意得：sinB=

4

5

，設AD=4x，則AB=5x，
根據勾股定理可得BD=3x，
∴tan∠BAD=

BD

AD

=

3

4

，
又AB=AC，且AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAD，
則tan∠BAC=

2tan ∠BAC 2

1-tan2 ∠BAC 2

=

2tan∠BAD

1-tan2∠BAD

=

24

7

．
故答案為：

24

7

點評：此題考查了銳角三角函數定義，勾股定理，等腰三角形的性質，以及二倍角的正切函數公式，利用了數形結合的思想，熟練掌握公式是解本題的關鍵．