Question

偶函數f（x）滿足f（x-2）=f（x+2），且在x∈[0，2]時，f（x）=2cos

π

4

x則關于x的方程f（x）=(

1

2

)x在 x∈[-2，6]上解的個數是

4

．

Answer 1

分析：根據題意，函數f（x）是周期為4的是偶函數，在[0，2]上的表達式為f（x）=2cos

π

4

x，由此不難作出f（x）在[-2，6]上的圖象，再在同一坐標系內作出函數y=（

1

2

）^x的圖象，觀察兩個圖象的交點個數，即得本題方程實數根的個數．

解答：解：∵當x∈[0，2]時，0≤

π

4

x≤

1

2

π，f（x）=2cos

π

4

x
∴函數f（x）在x=0時，函數值有最大值f（0）=2cos0=2，
在x=2時，函數值有最小值f（2）=2cos

1

2

π=0．
由此作出函數f（x）在x∈[0，2]時的圖象，呈減函數趨勢如圖
∵函數f（x）是偶函數，
∴f（x）在[-2，0]上的圖象與[0，2]上的圖象關于y軸對稱，如圖所示
∵函數f（x）滿足f（x-2）=f（x+2），∴函數f（x）是周期T=4的周期函數．
因此，將f（x）在[-2，2]上的圖象向右平移一個周期，得f（x）在[2，6]上的圖象
∴函數f（x）在[-2，6]上的圖象如右圖所示，是位于x軸上方的兩段余弦型曲線弧
在同一坐標系內作出函數y=（

1

2

）^x的圖象，可得它經過點（0，1），呈減函數趨勢如圖
因為兩個圖象有4個交點，得關于x的方程f（x）=（

1

2

）^x的實數根也有4個．
故答案為：4．

點評：本題以一個關于x的方程根的個數討論為載體，考查了函數的單調性與奇偶性、基本初等函數圖象作法和函數的周期等知識點，屬于中檔題．