Question

如圖，某興趣小組測得菱形養殖區ABCD的固定投食點A到兩條平行河岸線l₁、l₂的距離分別為4m、8m，河岸線l₁與該養殖區的最近點D的距離為1m，l₂與該養殖區的最近點B的距離為2m．
（1）如圖甲，養殖區在投食點A的右側，若該小組測得∠BAD=60°，請據此算出養殖區的面積；
（2）如圖乙，養殖區在投食點A的兩側，試在該小組未測得∠BAD的大小的情況下，估算出養殖區的最小面積．

Answer 1

分析：（1）設AD與l₁所成夾角為α，推出AB與l₂所成夾角為60°-α，對菱形ABCD的邊長“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，
求出tanα=

3

5

，然后求出養殖區的面積；
（2）如圖乙，設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），推出AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
類似（1）求出養殖區的面積，通過導數求解養殖區的面積的最小值．

解答：解：（1）如圖甲，設AD與l₁所成夾角為α，
則AB與l₂所成夾角為60°-α，
對菱形ABCD的邊長“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，
解得tanα=

3

5

，
所以，養殖區的面積S=(

3

sinα

)2•sin60°=9(1+

1

tan2α

)•sin60°=42

3

(m2)；
（2）如圖乙，設AD與l₁所成夾角為α，∠BAD=θ∈（120°，180°），
則AB與l₂所成夾角為（180°-θ+α），
對菱形ABCD的邊長“算兩次”得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，
解得tanα=

sinθ

2+cosθ

，
所以，養殖區的面積S=(

3

sinα

)2•sinθ=9(1+

1

tan2α

)•sinθ=9(

5+4cosθ

sinθ

)，
由S′=9(

5+4cosθ

sinθ

)′=-9(

5cosθ+4

sin2θ

)=0
得cosθ=-

4

5

，
經檢驗得，當cosθ=-

4

5

時，
養殖區的面積S_min=27（m²）．
答：（1）養殖區的面積為42

3

m2；（2）養殖區的最小面積為27m²．

點評：本題考查三角形的解法，導數的應用，對菱形ABCD的邊長“算兩次”是解題的關鍵，考查計算能力，轉化思想．