Question

已知點到直線y=-

3

2

和點（0，2）距離之比為1
（1）求點的軌跡方程；
（2）直線l 垂直于曲線9x²-16y²=1的漸近線，直線所在的函數有f′（x）＞0，且經過點（4，0）求：軌跡上的點到直線l 的距離的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用拋物線的定義可知其軌跡是拋物線；
（2）曲線9x²-16y²=1化為

x2

1 9

-

y2

1 16

=1，其漸近線為y=±

3

4

x，由于直線l 垂直于曲線9x²-16y²=1的漸近線，直線所在的函數有f′（x）＞0，可得直線l的斜率k=

4

3

．又直線l經過點（4，0），利用點斜式可得直線l的方程為：y=

4

3

(x-4)．設與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為y=

4

3

x+m．切點為M（s，t）．由拋物線方程為：x2=7(y-

1

4

)．可得y′=

2

7

x，

2

7

s=

4

3

，解出s，t，即可得出m，再利用兩條平行線之間的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）設要求的點P（x，y），∵點P到直線y=-

3

2

和點（0，2）距離之比為1，
∴點P的軌跡是拋物線，其頂點為(0，

1

4

)．
P=2-(-

3

2

)=

7

2

∴軌跡方程為：x2=7(y-

1

4

)．
（2）曲線9x²-16y²=1化為

x2

1 9

-

y2

1 16

=1，其漸近線為y=±

3

4

x，
∵直線l 垂直于曲線9x²-16y²=1的漸近線，直線所在的函數有f′（x）＞0，
∴直線l的斜率k=

4

3

．
又直線l經過點（4，0），
∴直線l的方程為：y=

4

3

(x-4)，化為4x-3y-16=0．
設與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為y=

4

3

x+m．切點為M（s，t）．
由拋物線方程為：x2=7(y-

1

4

)．
可得y′=

2

7

x，
∴

2

7

s=

4

3

，
解得s=

14

3

，
∴(

14

3

)2=7(t-

1

4

)，
解得t=

847

252

，
∴

847

252

=

4

3

×

14

3

+m，解得m=-

721

252

．
∴軌跡上的點到直線l 的距離的最小值=

|-16+ 721 252 |

42+32

=

3311

1260

．

點評：本題考查了拋物線的定義及其性質、雙曲線的標準方程及其性質、導數的幾何意義與切線的方程、平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．