Question

19．求函數f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}-\frac{1}{2}（a+1）{x^2}$+x（a∈R）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 求出導函數，通過a的范圍判斷導函數的符號，判斷函數的單調性即可，求解單調區間即可．

解答 解：f'（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
當a=0時，若x＜1，則f'（x）＞0，此時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，1）；
當a≠0時，令f'（x）=0，則x=1或$x=\frac{1}{a}$，
當a＜0時，$\frac{1}{a}＜1$，若$x∈（\frac{1}{a}，1）$，則f'（x）＞0，
此時，函數f（x）的單調遞增區間為$（\frac{1}{a}，1）$．
當0＜a＜1時，$\frac{1}{a}＞1$，若$x∈（-∞，1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，則f'（x）＞0，
此時函數f（x）的單調遞增區間為$（-∞，1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$．
當a=1時，在R上f'（x）≥0，此時函數f（x）在R單調遞增，
當a＞1時，$\frac{1}{a}＜1$，若$x∈（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$，則f'（x）＞0，
此時函數f（x）的單調遞增區間為$（-∞，\frac{1}{a}），（1，+∞）$．

點評 本題考查函數的單調性的判斷，考查分類討論思想的應用，是中檔題．