Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設相遇時小艇的航行距離為S海里，根據余弦定理可得S關于t的表達式

900(t- 1 3 )2+300

，進而可知當t=

1

3

時，S有最小值為10

3

，進而求得此時的速度v．
（Ⅱ）設小艇與輪船在B處相遇．根據余弦定理可得v關于t的表達式，再根據t的范圍及二次函數的單調性求得v的最小值及此時t的值．

解答：解：（Ⅰ）設相遇時小艇的航行距離為S海里，
則S=

900t2+400-2•30t•20•cos(90°-30°)

=

900t2-600t+400

=

900(t- 1 3 )2+300

故當t=

1

3

時，S有最小值為10

3

，此時v=

S

t

=30

3

即小艇以30

3

海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
（Ⅱ）設小艇與輪船在B處相遇．
由題意可知：（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°）
化簡得v2=

400

t2

-

600

t

+900=400(

1

t

-

3

4

)2+675
由于0＜t≤

1

2

，即

1

t

≥ 2
所以當

1

t

=2時，v取得最小值10

13

即小艇航行速度的最小值為10

13

海里/小時．

點評：本題主要考查余弦定理在實際中的應用．屬基礎題．