Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小船沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖設小艇的速度為v，時間為t相遇，則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC，即：vt²=400+900t²-1200tcos60⁰=900t²-600t+400=900(t-

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)2+300再由二次函數法求解最值．
（2）根據題意，要用時最小，則首先速度最高，即為：30海里/小時，然后是距離最短，則由（1）可得：
OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60⁰解得：t=

2

3

，再解得相應角．

解答：解：（1）如圖設小艇的速度為v，時間為t相遇，
則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC
即：vt²=400+900t²-1200tcos60⁰=900t²-600t+400=900(t-

1

3

)2+300
當t=

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時，取得最小值，此時，v=30

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（2）要用時最小，則首先速度最高，即為：30海里/小時，則由（1）可得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60⁰解得：t=

2

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，此時∠BOD=30°
此時，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

點評：本題主要考查函數模型的建立和應用，主要涉及了余弦定理，二次函數法求最值，還考查了數形結合的思想．