Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先假設相遇時小艇的航行距離為S，根據余弦定理可得到關系式S=

900t2+400-2•30t•20•cos(90°-30°)

整理后運用二次函數的性質可確定答案．
（2）先假設小艇與輪船在某處相遇，根據余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．
（3）根據（2）中v與t的關系式，設

1

t

=u然后代入關系式整理成400u²-600u+900-v²=0，將問題等價于方程有兩個不等正根的問題，進而得解．

解答：解：（1）設相遇時小艇的航行距離為S海里，則
S=

900t2+400-2•30t•20•cos(90°-30°)

=

900t2-600t+400

=

900(t- 1 3 )2+300

故當t=

1

3

時，Smin=10

3

，v=

10 3

1 3

=30

3

即小艇以30

3

海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．
（2）設小艇與輪船在某處相遇
由題意可得：（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°）
化簡得：v2=

400

t2

-

600

t

+900=400(

1

t

-

3

4

)2+675
由于0＜t≤

1

2

，即

1

t

≥2
所以當

1

t

=2時，v取得最小值10

13

即小艇航行速度的最小值為10

13

海里/小時
（3）由（2）知：v2=

400

t2

-

600

t

+900，設

1

t

=u（u＞0）
于是400u²-600u+900-v²=0①
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程①應有兩個不等正根，即

6002-1600(900-v2)＞0 900-v2＞0

，解得15

3

＜v＜30
所以，v 的取值范圍是（15

3

，30）

點評：本題主要考查解三角形、二次函數等基礎知識，考查推理論證能力，抽象概括能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸思想．