Question

當n∈N，n≥2時，求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

(n∈N)．

Answer 1

分析：用數學歸納法進行證明，先驗證n=2時，不等式成立；再假設n=k（k≥2）時，不等式成立，然后利用放縮法證明n=k+1時，不等式成立．

解答：證明：①當n=2時，左邊=1+

1

2

=1+

2

2

＞1.7＞

2

=右邊，
∴當n=2時，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時，不等式成立，
即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

，
則當n=k+1時，
左式=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

=

k(k+1) +1

k+1

＞

k•k +1

k+1

=

k+1

k+1

=

k+1

=右式，
∴當n=k+1時，不等式成立．
由①②知，對一切n∈N，且n≥2，不等式都成立．
故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

(n∈N)．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，合理地運用數學歸納法進行證明，證明過程中注意放縮法的靈活運用．