Question

已知正數數列{a_n}中，a₁=1，當n∈N^*，n≥2時滿足

an

an-1

=

an-1+2n-1

an-2n+1

，求
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）記數列{

1

4 an

}的前n項和為A_n，證明An＜2

n

；
（3）bn=

an(2n-1)

n2+cn

（c為非零常數），若數列{b_n}是等差數列，其前n項和為S_n，求數列{（-1）ⁿS_n}的前m項和T_m．

Answer 1

分析：對遞推式進行變形得到：a_n-a_n-1=2n-1，再利用累加法求通項公式，本題（2）中的數列求和需要利用放縮法，放縮要恰到好處，這是難點之一．求數列{（-1）ⁿS_n}的前m項和T_m時，要先求出S_n再對n進行奇偶討論．

解答：解：（1）交叉相乘?a_n=n²
（2）

1

4 an

=

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

∴An＜2(

1

-

0

+

2

-

1

++

n

-

n-1

)=2

n

（3）2b2=b1+b3?C=-

1

2

?b_n=2n?S_n=n²+n
當m=2kT_m=-2（1-3）-4（3-5）-2k[（2k-1）-（2k+1）]=2k(k+1)=

m(m+2)

2

當m=2k-1T_m=T_m+1-（-1）^m+1S_m+1=-

(m+1)2

2

∴Tm=

m(m+2) 2 m=2k - (m+1)2 2 m=2k-1

點評：本題（1）屬于基礎題目，另外2問較難一點，特別是放縮法的應用，得出t_m的值要進行討論，并分段表示也是一個難點．