Question

（理）等差數列{a_n}中，首項a₁=1，公差d≠0，已知數列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比數列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求數列{a_n}，{k_n}的通項公式；
（2）當n∈N⁺，n≥2時，求證：

a2

2k2-2

+

a3

2k3-2

+

a4

2k4-2

+…+

an

2kn-2

＜

8

3

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₂²=a₁•a₅，從而可求d=2，故可求a_n=2n-1，從而akn=2kn-1，又等比數列中，公比a=

a2

a1

=3，所以 akn=3n-1，故可求{k_n}的通項公式；
（2）先考慮通式：

am

2km-2

=

2m-1

3m-1-1

(m∈N+，m≥2)，可得m=2時，

2m-1

3m-1-12

=3，m≥3時，

2m-1

3m-1-1

＜

2m

3m-1

，再采用錯位相減法即可求和證得．

解答：解：（1）a₂²=a₁•a₅⇒（1+d）²=1•（1+4d）⇒d=2，∴a_n=2n-1，
∴akn=2kn-1，
又等比數列中，公比a=

a2

a1

=3，所以 akn=3n-1，
∴2kn-1=3n-1⇒kn=

3n-1+1

2

…（6分）
證明：（2）

am

2km-2

=

2m-1

3m-1-1

(m∈N+，m≥2)，
m=2時，

2m-1

3m-1-12

=3，m≥3時，∵3^m-1＞2m，∴

2m-1

3m-1-1

＜

2m

3m-1

，…（9分）
記Sn=

6

32

+

8

33

+

10

34

+…+

2

3n-1

，則

1

3

Sn=

6

33

+

8

34

+

10

35

+…+

2n

3n

，
相減得到：

2

3

Sn=

2

3

+

2

33

+

2

34

+…+

2

3n-1

-

2n

3n

=

2

3

+

2 33 - 2 3n

1- 1 3

-

2n

3n

，
所以Sn=1+

1

6

-

3

2•3n-1

-

n

3n-1

＜

7

6

…（13分）
所以

a2

2k2-2

+

a3

2k3-2

+

a4

2k4-2

+…+

an

2kn-2

＜

3

2

+

6

32

+

8

33

+

10

34

+…+

2n

3n-1

＜

3

2

+

7

6

=

8

3

．…（14分）

點評：本題以數列為載體，綜合考查等差數列與等比數列，考查放縮法的運用，考查數列與不等式，綜合性強．