Question

（本小題滿分12分）在棱長為2的正方體中，設是棱的中點。

（1）求證：；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）（2）利用判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等；要證線線垂直，可通過征到線面垂直得到.（3）等體積法

試題解析：（1）連接BD，AE． 因四邊形ABCD為正方形，故，

因底面ABCD，面ABCD，故，又，

故平面，平面，故．

（2）連接，設，連接，

則為中點，而為的中點，故為三角形的中位線，

，平面，平面，故平面.

（3）由（2）知，點A到平面的距離等于C到平面的距離，

故三棱錐的體積，

而，

三棱錐的體積為.

考點：線面、線線位置關系及幾何體體積