Question

（2012•許昌三模）已知函數f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，下列四個命題：
①將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位可得到g（x）的圖象；
②y=f（x）g（x）是偶函數；
③f（x）與g（x）均在區間[-

π

4

，

π

4

]上單調遞增；
④y=

f(x)

g(x)

的最小正周期為2π．
其中真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：將函數f（x）和g（x）的解析式都提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
①利用平移規律“左加右減”即可得到f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位可得到g（x），本選項為真命題；
②將f（x）與g（x）的解析式代入y=f（x）g（x）中，利用平方差公式及二倍角的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，由余弦函數為偶函數得到y為偶函數，本選項為真命題；
③由正弦函數的單調增區間為[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，分別求出兩函數的單調增區間，即可作出判斷；
④將f（x）與g（x）的解析式代入y=

f(x)

g(x)

中，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，再利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正切函數，找出ω的值，代入周期公式求出函數的最小正周期，即可作出判斷．

解答：解：f（x）=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
g（x）=sinx-cosx=

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）=

2

sin（x-

π

4

），
①將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位可得到的解析式為：

2

sin（x-

π

2

+

π

4

）=

2

sin（x-

π

4

）=g（x），
本選項為真命題；
②y=f（x）g（x）=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∵余弦函數為偶函數，∴y為偶函數，本選項為真命題；
③f（x）=

2

sin（x+

π

4

），g（x）=

2

sin（x-

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z，
故f（x）與g（x）均在區間[-

π

4

，

π

4

]上單調遞增，本選項為真命題；
④y=

f(x)

g(x)

=

sinx+cosx

sinx-cosx

=

tanx+1

tanx-1

=-

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=-tan（x+

π

4

），
∵ω=1，∴T=

π

1

=π，本選項假命題；
綜上，真命題的個數為3．
故選C

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，余弦函數的奇偶性，正弦函數的單調性，以及三角函數圖象的變換，熟練掌握公式是解本題的關鍵．