Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x）f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+f3(

π

4

)+…+f2013(

π

4

)=（　　）

• A．0
• B．

  2

• C．-

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：利用三角函數求導法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結果，歸納其中的規律，發現標號的周期性為4，每四項的和是一個常數，再將x=

π

4

代入即可求得正確答案．

解答：解：∵f₁（x）=sinx+cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=sinx+cosx=f₁（x）
∴…，f_n（x）=f_n+4（x）（n∈N^*且n≥2），
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+f3(

π

4

)+…+f2013(

π

4

)=f₁（

π

4

）=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

故選B．

點評：本題考查三角函數的導數、周期性、及觀察歸納思想的運用，屬于基礎題．熟練掌握三角函數的求導法則，利用其中的函數周期性則解決本題的關鍵．