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已知f1(x)=sinx+cosx,記f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x)fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+f3(
π
4
)+…+f2013(
π
4
)
=(  )
分析:利用三角函數求導法則求出f2(x)、f3(x)、f4(x),…觀察所求的結果,歸納其中的規律,發現標號的周期性為4,每四項的和是一個常數,再將x=
π
4
代入即可求得正確答案.
解答:解:∵f1(x)=sinx+cosx,
∴f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,
f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx,
f4(x)=-cosx+sinx,
f5(x)=f4′(x)=sinx+cosx=f1(x)
∴…,fn(x)=fn+4(x)(n∈N*且n≥2),
又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+f3(
π
4
)+…+f2013(
π
4
)
=f1
π
4
)=sin
π
4
+cos
π
4
=
2

故選B.
點評:本題考查三角函數的導數、周期性、及觀察歸納思想的運用,屬于基礎題.熟練掌握三角函數的求導法則,利用其中的函數周期性則解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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已知f1(x)=sinx+cosx,記f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn(x)=f′n-1(x),( n∈N*,n≥2).則f1
π
4
)+f2
π
4
)+…+f2010
π
4
)=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f1(x)=sinx+cosx,記f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*且n≥2),則f1(
π
2
)+f2(
π
2
)+…+f2013(
π
2
)
=
1
1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的導函數,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,則f2013(x)=( 。

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