Question

某化工廠生產的某種化工產品，當年產量在150噸至250噸之間，其生產的總成本y（萬元）與年產量x（噸）之間的函數關系式可近似地表示為
問：
（1）年產量為多少噸時，每噸的平均成本最低？并求出最低成本？
（2）若每噸平均出廠價為16萬元，則年產量為多少噸時，可獲得最大利潤？并求出最大利潤？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用總成本除以年產量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入減去總成本表示出年利潤，通過配方求出二次函數的對稱軸，由于開口向下，對稱軸處取得最大值．
解答：解：（1）設每噸的平均成本為W（萬元/T），
則W==+-30≥2 -30=10，（4分）
當且僅當 =，x=200（T）時每噸平均成本最低，且最低成本為10萬元．（6分）
（2）設年利潤為u（萬元），
則u=16x-（ -30x+4000）=-+46x-4000=-（x-230）²+1290．（11分）
所以當年產量為230噸時，最大年利潤1290萬元．（12分）
點評：本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用基本不等式求函數的最值需滿足：正、二定、三相等、考查求二次函數的最值關鍵看對稱軸．