Question

函數f（x）是R上的奇函數，且當x＞0時，函數的解析式為f(x)=

2

x

-1．
（1）求f（-1）的值；
（2）求當x＜0時，函數的解析式；
（3）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性，把f（-1）轉化成-f（1），利用函數的解析式，把x=1代入f(x)=

2

x

-1進而求得答案．
（2）設x＜0，把-x代入函數的解析式，進而利用函數的奇偶性整理求得函數在（-∞，0）上的解析式．
（3）設x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個任意實數，且x₁＜x₂，通過比較f（x₁）和f（x₂）的大小來確定函數的在（0，+∞）上的單調性．

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）設x＜0，則-x＞0，所以f(-x)=

2

-x

-1，
又f（x）為奇函數，所以上式即-f(x)=

2

-x

-1，
所以f（x）=

2

x

+1；
（3）設x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個任意實數，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-1)-(

2

x   2

-1)=2（

x2-x1

x1x2

）．
因為x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以2（

x2-x1

x1x2

）＞0，則f（x₁）＞f（x₂）
因此f(x)=

2

x

-1．是（0，+∞）上的減函數．

點評：本題主要考查了函數單調性和奇偶性的應用．在解決分段函數的問題時，一定要注意函數的定義域．