Question

已知函數f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數）
（1）是否存在實數a，使函數f（x）是R上的奇函數，若不存在，說明理由，若存在，求函數f（x）的值域；
（2）探索函數f（x）的單調性，并利用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質有 f（0）=0，代入可求a，再利用奇函數的定義進行驗證；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2) =

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+1

，根據已知只要判斷出函數值差的符號即可．

解答：解：（1）若f（x）是R上的奇函數，
則f(0)=

a

2

-

1

1+1

=0⇒a=1，
而當a=1時，f(x)=

1

2

-

2x

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

的定義域為R，
且對x∈R，有f(-x)= 

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x+1)

=-f(x)，
因此，存在a=1，使函數f（x）是R上的奇函數．
由y=

2x-1

2(2x+1)

，
得2x=

-2y-1

2y-1

．
∵2^x＞0，
∴

-2y-1

2y-1

＞0?-

1

2

＜y＜

1

2

故函數f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．
（2）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2) =

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+1

=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵y=2^x是R上的增函數，∴2x2＞2x1，
又2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）是R上的減函數．

點評：本題主要考查了函數的單調性的定義在證明（判斷）函數單調性中的簡單應用，奇函數的性質f（0）=0（0在定義域內），屬于基礎試題