Question

【題目】設函數(a，bR)的導函數為,已知，是的兩個不同的零點．

（1）證明：；

（2）當b＝0時，若對任意x＞0，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（3）求關于x的方程的實根的個數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）1個.

【解析】

（1）求函數的導數，利用△＝4a2﹣12b＞0，得證；

（2）分離參數a，所以a≥﹣x對任意x＞0恒成立，令新函數設g（x）＝﹣x求最值即可，或采用x3+ax2﹣xlnx≥0時求左側最值亦可．

（3）轉化函數求零點個數可得結論．

（1）函數f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的導函數為f′（x）＝3x2+2ax+b．

已知x1，x2是f'（x）的兩個不同的零點，設x1＜x2，

所以△＝4a2﹣12b＞0，所以：a2＞3b得證；

（2）當b＝0時，對任意x＞0，f（x）≥xlnx恒成立，

所以x3+ax2≥xlnx，即x3+ax2﹣xlnx≥0，x2+ax﹣lnx≥0對任意x＞0恒成立，

所以a≥﹣x對任意x＞0恒成立，

設g（x）＝﹣x，則 ，

令h（x）＝1﹣1nx﹣x2，則h（x）＝﹣﹣2x＜0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調遞減，注意到h（1）＝0，

當x∈（0，1）時，h（x）＞0，g（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上單調遞增，

當x∈（1，+∞）時，H（x）＜0，g（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減，

所以，當x＝1時，g（x）有最大值g（1）＝﹣1，

所以a的取值范圍為[﹣1，+∞）；

（3）由題意設F（x）＝f（x）﹣f（x1）﹣，

則原問題轉化為求函數F（x）的零點的個數，

因為導函數為f（x）＝3x2+2ax+b，已知x1，x2是f'（x）的兩個不同的零點，

所以：，所以：

，

所以F（x）在（0，+∞）上單調遞增，注意到F（x1）＝0，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零點x1，

∴關于x的方程有1個實根，