Question

【題目】已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，點在第一象限，且，．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設、為橢圓上不重合的兩點且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問是否存在實數，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求取得最大值時的的長．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據所給向量間的關系求出點的坐標，又由得出半長軸，再將點的坐標代入橢圓方程解出，則可得橢圓方程；（2）由題意可得，設，則，將的直線方程與橢圓聯立解得的坐標，進而得到的坐標，從而由斜率公式求得，證得，可得存在實數符合題意，先利用基本不等式求得，再求出的最大值.

（1）∵，∴，

∵．即，

∴是等腰直角三角形，

∵，∴，

而點在橢圓上，∴，，∴，

∴所求橢圓方程為．

（2）對于橢圓上兩點，，

∵的平分線總是垂直于軸，

∴與所在直線關于對稱，

，則，

∵，∴的直線方程為，①

的直線方程為，②

將①代入，得，③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，

∴，

以替換，得到．

∴，

∵，，，弦過橢圓的中心，

∴，，∴，

∴，∴，

∴存在實數，使得，

，

當時，即時取等號，

，

又， ，

∴取得最大值時的的長為．