Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，CD=PD，∠ADP=90°，∠CDP=120°，E，F，G分別為PB，BBC，AP的中點．
（Ⅰ）求證：平面EFG∥平面PCD；
（Ⅱ）若CD=PD=2，求三棱錐E-CDF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）運用條件證明AB∥CD，EF∥PC，EF∥平面PCD．平面EFG∥平面PCD．
（Ⅱ）根據幾何體的性質得出：C到面ADP的距離為：2

3

×sin30°=

3

，E到面ADP的距離為

3

2

，運用體積公式即可．

解答： （Ⅰ）證明：因為E，G分別為BP．AP中點，
所以EG∥AB，
又因為ABCD是正方形，所以EG∥CD，所以EG∥平面PCD．
因為E，F分別為BP，BC中點，
所以EF∥PC，
所以EF∥平面PCD．
所以平面EFG∥平面PCD．
（Ⅱ）解：S_△CDF=

1

2

×2×1=1，
∵AD⊥DC，AD⊥DP，
∴AD⊥面PDC，
∴面PAD⊥面PDC，
∵CD=PD=2，∠ADP=90°，∠CDP=120°
∴PC=2

3

，
C到面ADP的距離為：2

3

×sin30°=

3

，
∵E，F，G分別為PB，BBC，AP的中點．
∴E到面ADP的距離為

3

2

，
∴V_E-CDF=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．

點評：本題考察了空間幾何體中的直線平面的平行，垂直問題，求解體積問題，屬于中檔題．