Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

1

2

，直線x=2被橢圓E截得的弦長為6，設F的橢圓E的右焦點，A為橢圓E的左頂點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求過點A、F，并且與橢圓的E右準線l相切的圓的方程；
（3）若M為橢圓E的右準線l上一點，連結AM交橢圓于點P，求

PM

AP

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2.

，由此能求出橢圓方程．
（2）由已知得F（2，0），A（-4，0），右準線l為直線x=8，設圓心C（m，n），則

(m-2)2+n2 = (m+4)2+n2 (m-2)2+n2 =|8-m|

，由此能求出圓的方程．
（3）設P點橫坐標為x₀，則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由此能求出

PM

AP

的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2.

，
解得a=4，b=2

3

，c=2，
∴所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…5分
（2）∵橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
∴F（2，0），A（-4，0），右準線l為直線x=8，
設圓心C（m，n），則

(m-2)2+n2 = (m+4)2+n2 (m-2)2+n2 =|8-m|

，
解得m=-1，n=±6

2

，
∴圓半徑r=|8-（-1）|=9，
故所要求的圓的方程為(x+1)2+(y±6

2

)2=81．…10分
（3）設P點橫坐標為x₀，
則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，…14分
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范圍是[

1

2

，+∞）．…16分．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查圓的方程的求法，考查

PM

AP

的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．