Question

16．已知直線l₁：y=mx+1和l₂：x=-my+1相交于點P，O為坐標原點，則P點橫坐標是$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$（用m表示），$|{\overrightarrow{PO}}|$的最大值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據兩條直線方程組成方程組，求出交點P的坐標，再計算向量$\overrightarrow{PO}$以及$|{\overrightarrow{PO}}|$的最大值．

解答 解：直線l₁：y=mx+1和l₂：x=-my+1相交于點P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+1}\\{x=-my+1}\end{array}\right.$，
∴x=-m（mx+1）+1，
解得x=$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$，
y=m×$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$+1=$\frac{1+m}{1{+m}^{2}}$，
∴P點橫坐標是$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$；
∴$\overrightarrow{PO}$=（-$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$，-$\frac{1+m}{1{+m}^{2}}$），
∴${\overrightarrow{PO}}^{2}$=${（\frac{1-m}{1{+m}^{2}}）}^{2}$+${（\frac{1+m}{1{+m}^{2}}）}^{2}$=$\frac{2}{1{+m}^{2}}$≤2，且m=0時“=”成立；
∴$|{\overrightarrow{PO}}|$的最大值是$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$，$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線方程的應用問題，也考查了平面向量的應用問題，是基礎題目．