Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線y=x交拋物線y=-x²+bx+c對稱軸右側的拋物線于點P，連接PA、PC，設△AOP的面積為S₁，△COP的面積為S₂．
（1）①若A、C兩點坐標分別為（2，0），（0，3），求拋物線y=-x²+bx+c的解析式；
②試判斷S₁與S₂之間的關系，并說明理由；
（2）將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過程中，是否存在點P，使S₁=2S₂，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）①若A、C兩點坐標分別為（2，0），（0，3），代入可構造關于b，c的方程，進而可得拋物線y=-x²+bx+c的解析式；
②根據①中A，C兩點坐標，求出P點坐標，求出S₁與S₂，進而可得S₁與S₂之間的關系．
（2）假定將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過程中，是否存在點P，使S₁=2S₂，利用反證法，可得答案．

解答： 解：（1）①若A、C兩點坐標分別為（2，0），（0，3），
則

-4+2b+c=0 c=3

，
解得：

b= 1 2 c=3

，
∴拋物線y=-x²+

1

2

x+3；
②令-x²+

1

2

x+3=x，
解得：x=

3

2

，或x=-2（舍去）
則S₁=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
S₂=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

；
顯然

3

2

S₁=S₂．
（2）將（1）中的拋物線沿x軸正方向平移，在平移過程中，是否存在點P，使S₁=2S₂，
假舍滿足條件的P點坐標為（x，x），x＞0，
則S₁=

1

2

×2×x=x，
S₂=

1

2

×3×x=

3

2

x；
若S₁=2S₂，則x=3x，
解得x=0（舍去），
故不存在滿足條件的P點．

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，難度不大，屬于基礎題．