Question

18．下列函數中，最小值是2的是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）
• C． y=lgx+$\frac{1}{lgx}$（1＜x＜10）
• D． y=x+$\frac{2}{\sqrt{x}}$-1

Answer 1

分析 利用函數的單調性或基本不等式求解函數的最小值，推出結論．

解答 解：y=x+$\frac{1}{x}$，x＞0時，函數的最小值為2．x＜0時，y≤-2，所以函數的最小值不是2，A不正確；
y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）可得x=$\frac{π}{2}$時，函數取得最小值，所以B不正確；
y=lgx+$\frac{1}{lgx}$（1＜x＜10）當x=10時函數的最小值為2，所以C不正確；
y=x+$\frac{2}{\sqrt{x}}$-1，函數的定義域為x＞0，y=x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1≥3$\root{3}{x•\frac{1}{\sqrt{x}}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$-1=2，當且僅當x=1時取等號．所以D正確；
故選：D．

點評 本題考查函數的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．