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【題目】在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系. 直線的極坐標方程是.

（Ⅰ）求圓的極坐標方程和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）射線與圓的交點為，與直線的交點為，求線段的長.

【答案】（Ⅰ）圓:,直線：；（Ⅱ）2.

【解析】

（Ⅰ）首先把圓的參數方程轉化為普通方程，再利用普通方程與極坐標方程之間的轉化公式即可得到圓的極坐標方程，化簡直線的極坐標方程，利用普通方程與極坐標方程之間的轉化公式即可得到直線的極坐標方程；

（Ⅱ）設為點的極坐標，由，聯立即可，設為點的極坐標，同理即可解得，利用即可求出。

解：（I）利用，把圓的參數方程（為參數）化為，∴，即．

由化簡得：，則直線的直角坐標方程為: ，

（II）設為點的極坐標，由，解得．

設為點的極坐標，由，解得．

∵，∴．

∴．

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【題目】運動健康已成為大家越來越關心的話題，某公司開發的一個類似計步數據庫的公眾號．手機用戶可以通過關注該公眾號查看自己每天行走的步數，同時也可以和好友進行運動量的PK和點贊．現從張華的好友中隨機選取40人（男、女各20人），記錄他們某一天行走的步數，并將數據整理如表：

步數

性別

0～2000

2001～5000

5001～8000

8001～10000

＞10000

男

女

（1）若某人一天行走的步數超過8000步被評定為“積極型”，否則被評定為“懈怠型”，根據題意完成下列2×2列聯表，并據此判斷能否有90%的把握認為男、女的“評定類型”有差異？

	積極型	懈怠型	總計
男
女
總計

（2）在張華的這40位好友中，從該天行走的步數不超過5000步的人中隨機抽取2人，設抽取的女性有X人，求X=1時的概率．

參考公式與數據：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2=，其中n=a+b+c+d．

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【題目】如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側有一集鎮（集鎮視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當地政府為方便村民出行，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側），建橋要求：兩村所有人到集鎮所走距離之和最短，已知兩村的人口數分別是人、人，假設一年中每人去集鎮的次數均為次．設．（小河河岸視為兩條平行直線）

（1）記為一年中兩村所有人到集鎮所走距離之和，試用表示；

（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．

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【題目】“微信運動”已成為當下熱門的健身方式，小明的微信朋友圈內也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數，并將數據整理如下：

	0～2000	2001～5000	5001～8000	8001～10000
男	1	2	3	6	8
女	0	2	10	6	2

（1）若采用樣本估計總體的方式，試估計小明的所有微信好友中每日走路步數超過5000步的概率；

（2）已知某人一天的走路步數超過8000步時被系統評定為“積極型”，否則為“懈怠型”.根據小明的統計完成下面的列聯表，并據此判斷是否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？

	積極型	懈怠型	總計
男
女
總計

附：

	0.10	0.05	0.025	0.010
	2.706	3.841	5.024	6.635

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