Question

15．已知函數f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1（k＞0）．
（1）若f（x）的單調遞減區間是（0，4），實數k的值為$\frac{1}{3}$；
（2）若f（x）在（0，4）上為減函數，則實數k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于k的方程，解出即可；
（2）問題轉化為k≤$\frac{2}{x+2}$在（0，4）成立，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）對函數求導數，
得f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數的單調遞減區間是（0，4），
∴f'（x）＜0的解集是（0，4），
∵k＞0，
∴3kx²+6（k-1）x＜0等價于3kx（x-4）＜0，
得6（k-1）=-12k，解之得k=$\frac{1}{3}$；
（2）若f（x）在（0，4）上為減函數，
則3kx²+6（k-1）x≤0在（0，4）恒成立，
即k≤$\frac{2}{x+2}$在（0，4）成立，
故k≤$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$，（-∞，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．