Question

已知⊙O：x2＋y2＝1和定點A(2，1)，由⊙O外一點P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求實數a，b間滿足的等量關系；(Ⅱ)求線段PQ長的最小值；(Ⅲ)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程.

Answer 1

(Ⅰ)  2a＋b－3＝0  (Ⅱ) 255.  （Ⅲ）(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2

解析:

（1）連OP，∵Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.

又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2，

化簡得實數a、b間滿足的等量關系為：2a＋b－3＝0.

(Ⅱ)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45，故當a＝65時，|PQ|min＝255，即線段PQ長的最小值為255.

(Ⅲ)設⊙P的半徑為R，OP設⊙O有公共點，⊙O的半徑為1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1.而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95，故當a＝65時，|PQ|min＝355，此時b＝－2a＋3＝35，R min＝355－1，得半徑取最小值⊙P的方程為(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.