Question

如圖，已知點A(－2，0)，點P是⊙B：(x－2)²＋y²＝36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)已知⊙O：x²＋y²＝r²(r＞0)的切線l總與曲線C有兩個交點M、N，并且其中一條切線滿足，求證：對于任意一條切線l總有．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意，， 　　∴Q點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且， 　　∴曲線C的軌跡方程是　　分 　　(Ⅱ)先考慮切線的斜率存在的情形．設切線：，則 　　由與⊙O相切得即　　①　　7分 　　由，消去得，， 　　設，，則由韋達定理得 　　，　　9分 　　 　　 　　　　②　　10分 　　由于其中一條切線滿足，對此 結合①式可得　　12分 　　于是，對于任意一條切線，總有，進而 　　故總有　　14分 　　最后考慮兩種特殊情況：(1)當滿足的那條切線斜率不存在時，切線方程為 　　代入橢圓方程可得交點的縱坐標，因，故，得到，同上可得：任意一條切線均滿足；(2)當滿足的那條切線斜率存在時，，，對于斜率不存在的切線也有． 　　綜上所述，命題成立　　15分