Question

已知⊙O：x²+y²=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足PQ=PA．
（1）證明：P（a，b）在一條定直線上，并求出直線方程；
（2）求線段PQ長的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑取最小值時的⊙P方程．

Answer 1

分析：（1）連接OP，OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線性質得到PQ垂直于OQ，利用勾股定理得到|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，而|PQ|=|PA|，得到平方相等，利用兩點間的距離公式列出關系式，化簡即可得到所求的直線方程；
（2）利用兩點間的距離公式表示出|PQ|，將b=-2a+3代入，被開方數為關于a的二次函數，配方求出|PQ|的最小值，以及此時a的值，即為線段PQ的最小值；
（3）設圓P的半徑為R，Q為圓P與圓O有公共點，圓O的半徑為1，根據兩圓有公共點列出關系式，再由兩點間的距離公式表示出|OP|，將b=-2a+3代入得到被開方數為關于a的二次函數，配方求出二次函數的最小值以及此時a的值，求出此時b的值，確定出P坐標，即為所求圓的圓心坐標，求出|OP|的最小值，得出R的最小值，即為所求圓的半徑，寫出圓P的標準方程即可．

解答：解：（1）由點Q為切點，可得PQ⊥OQ，
由勾股定理得：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，
又|PQ|=|PA|，
∴|PQ|²=|PA|²，即（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化簡得：2a+b-3=0，
則所求直線方程為2a+b-3=0；
（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，
|PQ|=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當a=

6

5

時，|PQ|_min=

2 5

5

，即線段PQ長的最小值為

2 5

5

；
（3）設圓P的半徑為R，Q為圓P與圓O有公共點，圓O的半徑為1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故當a=

6

5

時，|OP|_min=

3 5

5

，此時b=-2a+3=

3

5

，R_min=

3 5

5

-1，
則半徑取最小值時圓P的方程為（x-

6

5

）²+（y-

3

5

）²=（

3 5

5

-1）²．

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：圓的切線方程，兩點間的距離公式，以及二次函數的性質，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．