Question

（2011•江蘇模擬）已知⊙O：x²+y²=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實數a，b間滿足的等量關系；
（2）求線段PQ長的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²，化簡可得a，b間滿足的等量關系．
（2）由于 PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

，利用二次函數的性質求出它的最小值．
（3）設⊙P 的半徑為R，可得|R-1|≤PO≤R+1．利用二次函數的性質求得OP=

a2+b2

的最小值為

3 5

5

，此時，求得b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值為

3 5

5

-1，從而得到圓的標準方程．

解答：解：（1）連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
花簡可得 2a+b-3=0．
（2）∵PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當a=

6

5

時，線段PQ取得最小值為

2 5

5

．
（3）若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R-1|≤PO≤R+1．
而OP=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，故當a=

6

5

時，PO取得最小值為

3 5

5

，
此時，b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值為

3 5

5

-1．
故半徑最小時⊙P 的方程為 (x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3 5

5

-1)2．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，圓的切線的性質，兩點間的距離公式以及二次函數的性質應用，屬于中檔題．