Question

經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線相交于M，N兩點，若O是坐標原點，△OMN的面積是

2

3

a2，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A、2
• B、

  5

• C、

  5

  2

• D、

  6

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，設兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到漸近線y=

b

a

x的距離為b，即有|ON|=a，△OMN的面積可以表示為

1

2

•a•atanθ，結合條件可得a，b的關系，再由離心率公式即可計算得到．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±

b

a

x，
設兩條漸近線的夾角為θ，
則tanθ=tan∠MON=

b a -(- b a )

1+ b a •(- b a )

=

2ab

a2-b2

，
設FN⊥ON，則F到漸近線y=

b

a

x的距離為d=

|bc|

a2+b2

=b，
即有|ON|=

c2-b2

=a，
則△OMN的面積可以表示為

1

2

•a•atanθ=

a3b

a2-b2

=

2a2

3

，
解得a=2b，
則e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

1+ b2 a2

=

5

2

．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查離心率的求法，同時考查兩直線的夾角公式和三角形的面積公式，結合著較大的運算量，屬于中檔題．