Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值可解決此問(wèn)題；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可解決此問(wèn)題．

（1）當(dāng)k=-1時(shí)，，=-exx-x=-x（ex+1）

當(dāng)x＜0時(shí)，＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，＜0，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=0時(shí)取到最大值，最大值為f（0）=1．

（2）=kexx-x=x（kex-1），

當(dāng)k＜0時(shí)，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>f（0）=-k＞0，，，所以f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)k=0時(shí)，，所以此時(shí)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)k=1時(shí)，=exx-x=x（ex-1）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜k＜1時(shí)，，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，-lnk）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=-k＜0，f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)k＞1時(shí)，，f（x）在（-∞，-lnk）上單調(diào)遞增，在（-lnk，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是（-∞，0）．