【題目】已知橢圓
：
（
）的離心率為
，
，
，
，
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)
是橢圓上的一點(diǎn)，直線
與
軸交于點(diǎn)
，直線
與
軸交于點(diǎn)
，求證：
為定值.
【答案】（1）
（2）見解析；
【解析】
（1）由離心率和
的面積構(gòu)建方程組，求出
，代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得答案；
（2）設(shè)點(diǎn)
，由其在橢圓上得
，考慮PA，PB的斜率存在與否，利用分類討論
是否為0，由直線的兩點(diǎn)式分別表示PA，PB的直線方程，進(jìn)而表示
，化簡得答案.
（1）由題可知離心率
,
,
解之得
，所以橢圓
的方程為；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)，因為點(diǎn)P在橢圓C上，所以
，即
當(dāng)
時，因為，
，所以直線PA的方程為
令
得
，所以
因為因為，
，所以直線PA的方程為
令
得
，所以
則
所以
因為，所以原式
當(dāng)
時，因為點(diǎn)P在橢圓上，且不與點(diǎn)B重合，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為
則此時
，
則
，所以
綜上所述：為定值
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著社會的發(fā)展，終身學(xué)習(xí)成為必要，工人知識要更新，學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少，現(xiàn)某工廠有工人1000名，其中250名工人參加短期培訓(xùn)（稱為
類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為
類工人），從該工廠的工人中共抽查了100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（左圖），類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（右圖）.
(1)問類、類工人各抽查了多少工人，并求出直方圖中的
；
(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在
內(nèi)為能力優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的
列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān).能力與培訓(xùn)時間列聯(lián)表
短期培訓(xùn) | 長期培訓(xùn) | 合計 | |
能力優(yōu)秀 | |||
能力不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考數(shù)據(jù)：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總數(shù)為
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年生產(chǎn)臺數(shù) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
該產(chǎn)品的年利潤 | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
年返修臺數(shù)（臺） | 19 | 58 | 45 | 71 | 70 |
注：
（1）從該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，求這3年中至少有2年生產(chǎn)部門考核優(yōu)秀的概率.
（2）利用上表中五年的數(shù)據(jù)求出年利潤
（百萬元）關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)
（萬臺）的回歸直線方程是
①.現(xiàn)該公司計劃從2019年開始轉(zhuǎn)型，并決定2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺，且預(yù)計2019年可獲利32（百萬元）；但生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn)，若用預(yù)計的2019年的數(shù)據(jù)與2014-2018年中考核優(yōu)秀年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程，只有當(dāng)重新估算的
，
的值（精確到0.01），相對于①中
，
的值的誤差的絕對值都不超過
時，2019年該產(chǎn)品返修率才可低于千分之一.若生產(chǎn)部門希望2019年考核優(yōu)秀，能否同意2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺？請說明理由.
（參考公式：
，
，
，
相對
的誤差為
.）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
，且曲線與恰有一個公共點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程；
(Ⅱ)已知曲線上兩點(diǎn)
，
滿足
，求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，設(shè)橢圓
的左焦點(diǎn)為
,短軸的兩個端點(diǎn)分別為
，且
，點(diǎn)
在
上.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線
與橢圓和圓
分別相切于
,
兩點(diǎn)，當(dāng)
面積取得最大值時，求直線
的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
為等邊三角形，
（1）若點(diǎn)
分別是線段
的中點(diǎn)，求證：平面
平面
；
（2）若二面角
為直二面角，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某度假酒店為了解會員對酒店的滿意度，從中抽取50名會員進(jìn)行調(diào)查，把會員對酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個評分標(biāo)準(zhǔn)：1分（很不滿意）；2分（不滿意）；3分（一般）；4分（滿意）；5分（很滿意）.其統(tǒng)計結(jié)果如下表（住宿滿意度為
，餐飲滿意度為
）
（1）求“住宿滿意度”分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；
（2）求“住宿滿意度”為3分時的5個“餐飲滿意度”人數(shù)的方差；
（3）為提高對酒店的滿意度，現(xiàn)從
且
的會員中隨機(jī)抽取2人征求意見，求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.
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