Question

如圖，ABCD是一塊邊長為2a的正方形鐵板，剪掉四個陰影部分的小正方形，沿虛線折疊后，焊接成一個無蓋的長方體水箱，若水箱的高度x與底面邊長的比不超過常數k（k＞0）．
（1）寫出水箱的容積V與水箱高度x的函數表達式，并求其定義域；
（2）當水箱高度x為何值時，水箱的容積V最大，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形據體積公式得出體積關于高x的函數，再由題意中的限制條件得出定義域．
（2）宜用導數法求最值，先求導，解相關的不等式，列表，得出單調性求出最值．
解答：解：（Ⅰ）由水箱的底面邊長為2a-2x，高為x，得V=（2a-2x）²•x=4x•（a-x）²，
∵∴
又，，
∴故定義域為{x|}．（5分）

（Ⅱ）∵V=4x•（a-x）²=4x³-8ax²+4a²x，
∴V′=12x²-16ax+4a²，
令V′=0，得，或x=a（舍）
若，即時，

∴當時，V取得最大值，且最大值為．
若，即時，V′（x）=12x²-16ax+4a²＞0，
∴V在上是增函數，
∴當時，V取得最大值，且最大值為．
綜上可知，當時，，水箱容積V取最大值；
當時，，水箱容積V取最大值．（13分）
點評：考查長方體的體積公式以及用導數數求最值的過程．題型比較基本，運算量不小．