Question

【題目】如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．過B1作l交橢圓于P、Q兩點，使PB2垂直QB2，求直線l的方程__________．

Answer 1

【答案】x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0

【解析】

試題分析：設所求橢圓的標準方程為 (a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故

S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.

由題設條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.

因此所求橢圓的標準方程為：.

，。由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線的方程為： 。

代入橢圓方程得。

設， ，則 是上面方程的兩根，因此，。又，，所以由 ，得 ，即 ，解得。所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為和。