Question

16．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為正方形，側面PAD為直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分別為AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求證：AP⊥面PCD．

Answer 1

分析 （I）法1：取PC中點G，連接FG、BG，可得BE∥CD，又$BE=\frac{1}{2}DC$，可得BEFG為平行四邊形，即證明EF∥BG，進而判定EF∥面PBC；法2：取CD中點H，連接FH，EH，通過證明平面EFH∥平面PBC，進而判定EF∥面PBC．
（II）利用線面垂直的性質可得CD⊥AP，進而證明PD⊥AP，即可證明線面垂直．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（I）法1：取PC中點G，連接FG、BG，-------------（1分）
因為F、G分別為PD、PC的中點，
所以FG∥CD且$FG=\frac{1}{2}DC$；-------------（2分）
因為ABCD為正方形，所以BE∥CD，
又因為E為AB中點，所以$BE=\frac{1}{2}DC$，
所以BE∥FG，且BE=FG，------（4分）
所以BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG；
因為EF?面PBC，BG?面PBC，
所以EF∥面PBC；-----------------------（6分）
法2：取CD中點H，連接FH，EH，-------------（1分）
因為F，H分別為PD、CD的中點，
所以FH∥PC，EH∥BC；-------------（2分）
又FH?平面EFH，EH?平面EFH，PC?面PBC，BC?面PBC，
且FH∩EH=H，
所以平面EFH∥平面PBC，-----------------------（4分）
又因為EF?平面EFH，
所以EF∥面PBC；-----------------------（6分）
（ II）因為ABCD為正方形，
所以CD⊥AD，---------------------（7分）
面PAD⊥面ABCD且AD為交線，
所以CD⊥面PAD，-----------------------（8分）
AP?面PAD，所以CD⊥AP，-----------------------（9分）
PAD為直角三角形，且PA=PD，
所以PD⊥AP，----------------------（10分）
又CD∩PD=D，
所以，AP⊥面PCD；-----------------------（12分）

點評 本題主要考查線面平行和線面垂直的判定，利用線面平行和線面垂直的判定定理是解決本題的關鍵，考查學生的空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．