Question

已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當時，函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）極大值；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，將代入中，對求導，令，，判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以當時，函數(shù)取得極值；第二問，將題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為，利用配方法求函數(shù)的最小值，解出a的取值范圍；第三問，將題目轉(zhuǎn)化為當時，不等式恒成立，即，討論a的值，在每一種情況下判斷單調(diào)性，求函數(shù)最值，驗證.

試題解析：（1）當時，，

，

由解得，由解得，

故當時，的單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，

∴當時，函數(shù)取得極大值.

（2），∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，

只需2a不大于在上的最小值即可． 6分

而，則當時，，

∴，即，故實數(shù)a的取值范圍是． 8分

（3）因圖象上的點在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，即當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可．

由，

（ⅰ）當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

（ⅱ）當時，由，令，得或，

①若，即時，在區(qū)間上，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無最大值，不滿足條件；

②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．

（ⅲ）當時，由，因，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是． 12分

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值.