Question

【題目】已知函數(shù).

（1）過點(diǎn)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）作函數(shù)圖象的切線l，求直線l的方程；

（2）求函數(shù)在區(qū)間（）上的最大值；

（3）若，且對(duì)任意恒成立，求k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）最大值是4.

【解析】

（1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為,求得導(dǎo)函數(shù)后,將橫坐標(biāo)帶入可得切線的斜率.點(diǎn)在切線方程上,可由點(diǎn)斜式表示出切線方程.帶入切點(diǎn)后,可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo).帶入切線方程即可求解.

（2）求得導(dǎo)函數(shù),并令.即可求得極值點(diǎn),并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷出為極小值點(diǎn).討論及兩種情況,即可根據(jù)單調(diào)性求得最大值.

（3）因?yàn)?/span>時(shí),分類參數(shù).構(gòu)造函數(shù),求得導(dǎo)函數(shù),并令,再求得.通過的符號(hào),判斷出的單調(diào)性.從而由零點(diǎn)存在定理可知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為,結(jié)合函數(shù)可判斷出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.從而可知在處取得最小值.即可由整數(shù)求得的最大值.

（1）設(shè)切點(diǎn)為,則,

因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)榍芯�過點(diǎn),所以切線方程為,①

代入切點(diǎn)得,,

解得,代入①得直線l的方程為,

即直線l的方程為.

（2）函數(shù),則

由得,,

所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

所以是極小值,

因?yàn)?/span>（）恒成立,所以分如下兩種情況討論：

1°當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),

則,

2°當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),

則,

因?yàn)?/span>,

顯然,

所以,

綜上所述的最大值為.

（3）由可知,所以等價(jià)于,

令,則,

令,則,恒成立,

所以在上是增函數(shù),

又因?yàn)?/span>,,

所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

記該零點(diǎn)為,

所以,也即,

所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

所以在處取得極小值,也是最小值,

即,

所以整數(shù)（）,

所以k的最大值是4.