Question

已知函數f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若對任意x∈[1，+∞]，使得f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對n∈N^*，不等式

1

ln(n+1)

+

1

ln(n+2)

+…+

1

ln(n+2013)

＞

2013

n(n+2013)

成立．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-

2

3

），由導數確定函數的單調性，從而求極值；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）+x³-（a+2）x=x²+alnx-（a+2）x，求導，從而由F（1）=1-（a+2）≥0，可得a≤-1．
（3）由題意（n+i）²-ln（n+i）-（n+i）＞0，從而可得

1

ln(n+i)

＞

1

(n+i)(n+i-1)

=

1

n+i-1

-

1

n+i

，利用放縮法求證．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-

2

3

），
f（x）=-x³+x²在（-∞，0），（

2

3

，+∞）上是減函數，
在（0，

2

3

）上是增函數，
故f_極大（x）=f（

2

3

）=

4

27

，f_極小（x）=f（0）=0；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）+x³-（a+2）x
=x²+alnx-（a+2）x
F′（x）=

(x-1)(2x-a)

x

，
又∵F（1）=1-（a+2）≥0，
∴a≤-1；
故在a≤-1時，
F′（x）＞0，
故a≤-1．
（3）證明：∵當a=-1時，x²-lnx-x＞0對任意x∈（1，+∞）上恒成立，
∴（n+i）²-ln（n+i）-（n+i）＞0，
∴0＜ln（n+i）＜（n+i）²-（n+i），
∴

1

ln(n+i)

＞

1

(n+i)(n+i-1)

=

1

n+i-1

-

1

n+i

；

1

ln(n+1)

+

1

ln(n+2)

+…+

1

ln(n+2013)

＞

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

-

1

n+2

+…+

1

n+2012

-

1

n+2013

=

1

n

-

1

n+2013

=

2013

n(n+2013)

．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了放縮法證明不等式，屬于中檔題．