Question

已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（-

3

，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為

1

2

的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可知：c=

3

，a=2，又b²=a²-c²．即可得出橢圓C的方程．
（2）設直線l的方程為y=

1

2

x+b，與橢圓方程聯立可得x²+2bx+2b²-2=0，△≥0，即b²≤2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數的關系可得：弦長|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，由于0≤b²≤2，即可得出．

解答： 解：（1）由題意可知：c=

3

，a=2，∴b²=a²-c²=1．
∵焦點在x軸上，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=

1

2

x+b，由

y= 1 2 x+b x2 4 +y2=1

，
可得x²+2bx+2b²-2=0，
∵l與橢圓C交于A、B兩點，
∴△=4b²-4（2b²-2）≥0，即b²≤2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2b，x₁x₂=2b²-2．
∴弦長|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，
∵0≤b²≤2，
∴|AB|=

10-b2

≤

10

，
∴當b=0，即l的直線方程為y=

1

2

x時，弦長|AB|的最大值為

10

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．