Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點為F₁，F₂，左準線為l，P為橢圓上一點，PQ⊥l，垂足為Q．若四邊形PQF₁F₂為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先，根據橢圓上動點P橫坐標滿足：-a≤x≤a，結合PQF₁F₂是平行四邊形，得|PQ|=|F₁F₂|，建立關于ac的不等式，解之再結合橢圓離心率的取值范圍，可求得該橢圓的離心率取值范圍．

解答： 解：如圖所示：

∵點P是橢圓上的動點，
∴P點橫坐標x滿足：-a≤x≤a（等號不能成立），
∵四邊形PQF₁F₂為平行四邊形，
∴|PQ|=|F₁F₂|=2c，
∵左準線方程為x=-

a2

c

，|PQ|=x+

a2

c

=2c，
∴x=2c-

a2

c

，
因此可得-a＜2c-

a2

c

＜a，各項都除以a，得-1＜2e-

1

e

＜1
解不等式，得

1

2

＜e＜1，
故答案為：(

1

2

，1)．

點評：本題給出橢圓上存在動點到左準線的距離等于焦距，求橢圓離心率取值范圍，著重考查了橢圓的標準方程和基本概念，橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．