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(本小題滿分14分)已知函數

(1)求函數的最大值;

(2)若函數有相同極值點,

(ⅰ)求實數的值;

(ⅱ)若對于,不等式恒成立,求實數的取值范圍.

 

(1)的最大值為;(2)(i);(ii)

【解析】

試題分析:(1)考慮通過求導判斷函數的單調性來求其最大值:,從而可知上為增函數,在上為減函數,因此的最大值為;(2)(i)根據條件函數有相同極值點,即有相同的零點,從而由(1),即有;(ii)首先根據前述問題可知,而要使不等式恒成立,故需對的取值進行分類討論,從而可得①當,即時,對于,不等式恒成立

,∵

,又∵,∴

②當,即時,對于,不等式

,∴,又∵,∴

即實數的取值范圍為

試題解析:(1), 1分 由

,∴上為增函數,在上為減函數, 3分

∴函數的最大值為; 4分(2)∵,∴

(i)由(1)知,是函數的極值點,又∵函數有相同極值點,

是函數的極值點,∴,解得, 7分

經檢驗,當時,函數取到極小值,符合題意; 8分

(ⅱ)∵, ∵, 即

, 9分

由(ⅰ)知,∴,當時,,當時,

為減函數,在上為增函數,∵

,∴,∴, 10分

①當,即時,對于,不等式恒成立

,∴,又∵,∴, 12分

②當,即時,對于,不等式

,又∵,∴

綜上,所求的實數的取值范圍為. 14分

考點:1.導數的運用;2.恒成立問題.

 

練習冊系列答案
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