Question

（本小題滿分14分）已知函數．

（1）求函數的最大值；

（2）若函數與有相同極值點，

（ⅰ）求實數的值；

（ⅱ）若對于，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的最大值為；（2）（i）；（ii）．

【解析】

試題分析：（1）考慮通過求導判斷函數的單調性來求其最大值：，從而可知在上為增函數，在上為減函數，因此的最大值為；（2）（i）根據條件函數與有相同極值點，即與有相同的零點，從而由（1），即有；（ii）首先根據前述問題可知，，，，而要使不等式恒成立，故需對的取值進行分類討論，從而可得①當，即時，對于，不等式恒成立

，∵，

∴，又∵，∴，

②當，即時，對于，不等式，

，

∵，∴，又∵，∴，

即實數的取值范圍為．

試題解析：（1）， 1分 由得，

由得，∴在上為增函數，在上為減函數， 3分

∴函數的最大值為； 4分（2）∵，∴，

（i）由（1）知，是函數的極值點，又∵函數與有相同極值點，

∴ 是函數的極值點，∴，解得， 7分

經檢驗，當時，函數取到極小值，符合題意； 8分

（ⅱ）∵，，， ∵， 即，

∴，， 9分

由（ⅰ）知，∴，當時，，當時，，

故在為減函數，在上為增函數，∵，

而，∴，∴，， 10分

①當，即時，對于，不等式恒成立

，

∵，∴，又∵，∴， 12分

②當，即時，對于，不等式，

，

∵，

∴，又∵，∴，

綜上，所求的實數的取值范圍為． 14分

考點：1．導數的運用；2．恒成立問題．