(本小題滿分14分)已知函數.
(1)求函數的最大值;
(2)若函數與
有相同極值點,
(ⅰ)求實數的值;
(ⅱ)若對于,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍.
(1)的最大值為
;(2)(i)
;(ii)
.
【解析】
試題分析:(1)考慮通過求導判斷函數的單調性來求其最大值:
,從而可知
在
上為增函數,在
上為減函數,因此
的最大值為
;(2)(i)根據條件函數
與
有相同極值點,即
與
有相同的零點,從而由(1)
,即有
;(ii)首先根據前述問題可知
,
,
,
,而要使不等式
恒成立,故需對
的取值進行分類討論,從而可得①當
,即
時,對于
,不等式
恒成立
,∵
,
∴,又∵
,∴
,
②當,即
時,對于
,不等式
,
,
∵,∴
,又∵
,∴
,
即實數的取值范圍為
.
試題解析:(1), 1分 由
得
,
由得
,∴
在
上為增函數,在
上為減函數, 3分
∴函數的最大值為
; 4分(2)∵
,∴
,
(i)由(1)知,是函數
的極值點,又∵函數
與
有相同極值點,
∴ 是函數
的極值點,∴
,解得
, 7分
經檢驗,當時,函數
取到極小值,符合題意; 8分
(ⅱ)∵,
,
, ∵
, 即
,
∴,
, 9分
由(ⅰ)知,∴
,當
時,
,當
時,
,
故在
為減函數,在
上為增函數,∵
,
而,∴
,∴
,
, 10分
①當,即
時,對于
,不等式
恒成立
,
∵,∴
,又∵
,∴
, 12分
②當,即
時,對于
,不等式
,
,
∵,
∴,又∵
,∴
,
綜上,所求的實數的取值范圍為
. 14分
考點:1.導數的運用;2.恒成立問題.
科目:高中數學 來源:2015屆福建省高三10月月考理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
定義在R上的奇函數,滿足
,則
在區間(0,6)內零點
個數( )
A.至多4個 B.至多5個 C.恰好6個 D.至少6個
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科目:高中數學 來源:2015屆福建省等三校高三上學期期中聯考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知數列的前
項和為
,且
(1)求數列的通項公式;
(2)記數列的前
項和為
,若對任意的
,
恒成立,求實數
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2015屆福建省、德化一中高三9月摸底考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數為偶函數,且其圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為
.
(1)求函數的表達式.
(2)若,求
的值.
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科目:高中數學 來源:2015屆福建省八縣(市高三上學期半期聯考理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知,函數
(1)若函數為奇函數,且
,求實數
的取值范圍;
(2)若對任意的都有
成立,求實數k的取值范圍.
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