Question

【題目】如圖，已知橢圓，點(diǎn)是它的右端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、為圓上不重合的兩點(diǎn)，的平分線總是垂直于軸，且存在實(shí)數(shù)，使得，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出的值，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先由已知條件得出直線和直線的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出實(shí)數(shù)的表達(dá)式，再利用基本不等式可求出的最大值．

（1）依題意可知，，.

又，，是等腰直角三角形，，.又點(diǎn)在橢圓上，，，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）如下圖所示：

對于橢圓上兩點(diǎn)、，的平分線總是垂直于軸，

與所在直線關(guān)于直線對稱.

設(shè)，則，

則直線的方程為，①

直線的方程為，②

將①代入，得.③

在橢圓上，是方程③的一個(gè)根，，

以替換，得到.

，，

易知，，，，則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，

因此，實(shí)數(shù)的最大值為.